Limite de funcții

Ce se întâmplă cu o funcție când $x$ se apropie de un punct în care nu o poți calcula direct? Sau când $x$ devine din ce în ce mai mare? Limitele răspund exact la aceste întrebări. Ele stau la baza derivatelor și integralelor, iar la BAC apar aproape sigur la subiectul al III-lea.

Ideea de limită

Spunem că $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell$ dacă valorile $f(x)$ se apropie oricât de mult de $\ell$ atunci când $x$ se apropie suficient de mult de $x_0$ (cu $x \neq x_0$). Funcția nici nu trebuie să fie definită în $x_0$: contează doar comportarea ei în jurul lui $x_0$.

Limite laterale. Limita la stânga ($x \to x_0$, $x < x_0$) se notează $\ell_s$, iar limita la dreapta ($x \to x_0$, $x > x_0$) se notează $\ell_d$. Funcția are limită în $x_0$ dacă și numai dacă

$$\ell_s = \ell_d.$$

Când funcția este continuă în $x_0$ (de exemplu polinoame, funcții raționale în puncte în care numitorul nu se anulează, $\sin$, $\cos$, $e^x$), limita se obține prin înlocuire directă: $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Cazuri de nedeterminare

Uneori înlocuirea duce la o formă din care nu poți trage o concluzie. Acestea sunt cazurile de nedeterminare:

$$\frac{0}{0}, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad \infty - \infty, \quad 0 \cdot \infty, \quad 1^{\infty}, \quad \infty^0, \quad 0^0.$$

În schimb, forme ca $\infty + \infty = \infty$, $\infty \cdot \infty = \infty$ sau $\frac{a}{\infty} = 0$ (cu $a$ real) nu sunt nedeterminări.

Instrumente de bază

1. Factorizarea (pentru $\frac{0}{0}$ la funcții raționale): descompui numărătorul și numitorul și simplifici factorul care se anulează.

2. Funcții raționale la infinit. Pentru $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}$ compari gradele:

• $\operatorname{grad} P < \operatorname{grad} Q$: limita este $0$;
• $\operatorname{grad} P = \operatorname{grad} Q$: limita este raportul coeficienților dominanți;
• $\operatorname{grad} P > \operatorname{grad} Q$: limita este $\pm\infty$, cu semnul dat de raportul coeficienților dominanți.

3. Amplificarea cu conjugata, pentru diferențe cu radicali ($\infty - \infty$ sau $\frac{0}{0}$).

4. Limite remarcabile:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e.$$

Ele rămân valabile dacă înlocuiești $x$ cu o expresie $u(x) \to 0$, cu condiția să apară aceeași expresie peste tot: $\lim \frac{\sin u(x)}{u(x)} = 1$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: cazul $\frac{0}{0}$ prin factorizare

Calculează $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Înlocuind, obținem $\frac{0}{0}$. Factorizăm:

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2, \quad x \neq 2.$$

Deci $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

Exemplul 2: funcție rațională și radicali la infinit

a) Calculează $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5}$.

Gradele sunt egale ($2$), deci limita este $\frac{3}{2}$. Dacă vrei să vezi de ce, dai factor comun $x^2$:

$$\frac{x^2\left(3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2 + \frac{5}{x^2}\right)} \to \frac{3 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}.$$

b) Calculează $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$.

Avem cazul $\infty - \infty$. Amplificăm cu conjugata $\sqrt{x^2 + x} + x$:

$$\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}.$$

Pentru $x > 0$, $\sqrt{x^2 + x} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$, deci

$$\frac{x}{x\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} \to \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}.$$

Exemplul 3: o limită remarcabilă

Calculează $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$.

Ca să folosim $\frac{\sin u}{u} \to 1$, avem nevoie de $3x$ la numitor:

$$\frac{\sin 3x}{x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \to 1 \cdot 3 = 3.$$

Greșeli frecvente

• „$\frac{0}{0} = 1$” sau „$\infty - \infty = 0$”. Sunt nedeterminări: rezultatul poate fi orice număr sau chiar $\pm\infty$. Trebuie să transformi expresia.
• $\frac{\sin 3x}{x} \to 1$. Greșit: limita remarcabilă cere aceeași expresie la numitor ca în sinus. Corect este $3$.
• Semnul radicalului la $-\infty$. Pentru $x < 0$, $\sqrt{x^2} = |x| = -x$. Dacă uiți asta, obții semnul greșit.
• Limita la stânga și la dreapta. La $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$, limitele laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$, deci limita nu există. Verifică lateralele când numitorul se anulează.
• $1^{\infty}$ tratat ca $1$. De exemplu, $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \to e$, nu la $1$.

Pe scurt

• Încearcă mai întâi înlocuirea directă; dacă obții un număr, ai terminat.
• Dacă obții o nedeterminare, alege instrumentul potrivit: factorizare, factor comun forțat, conjugată sau limite remarcabile.
• Funcții raționale la infinit: compari gradele numărătorului și numitorului.
• Limita există doar dacă limitele laterale sunt egale.