Trigonometrie de bază

Trigonometria a pornit dintr-o întrebare practică: cum măsori distanțe și înălțimi la care nu poți ajunge cu rigla? Astăzi o folosești în fizică (descompunerea forțelor, oscilații), în topografie și în grafică pe calculator. În clasa a IX-a treci de la triunghiul dreptunghic la cercul trigonometric și la triunghiuri oarecare. Exact asta apare la BAC.

Funcțiile trigonometrice în triunghiul dreptunghic

Într-un triunghi dreptunghic, pentru un unghi ascuțit $x$:

$$\sin x = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}, \qquad \cos x = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}, \qquad \operatorname{tg} x = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}.$$

De asemenea, $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ și $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Valori pe care trebuie să le știi:

Formula fundamentală a trigonometriei:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Radiani și cercul trigonometric

Unghiurile se pot măsura și în radiani. Legătura este $180^\circ = \pi$ radiani, deci

$$\alpha_{\text{rad}} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}.$$

Pe cercul trigonometric (cerc cu centrul în origine și raza $1$), unui unghi $x$ îi corespunde un punct $M$ de coordonate $(\cos x, \sin x)$. Astfel definim sinusul și cosinusul pentru orice unghi, nu doar pentru cele ascuțite. Semnele depind de cadran:

• cadranul I ($0^\circ$–$90^\circ$): $\sin > 0$, $\cos > 0$;
• cadranul II ($90^\circ$–$180^\circ$): $\sin > 0$, $\cos < 0$;
• cadranul III ($180^\circ$–$270^\circ$): $\sin < 0$, $\cos < 0$;
• cadranul IV ($270^\circ$–$360^\circ$): $\sin < 0$, $\cos > 0$.

Pentru unghiurile obtuze din triunghiuri folosești formulele de reducere:

$$\sin(180^\circ - x) = \sin x, \qquad \cos(180^\circ - x) = -\cos x.$$

Triunghiul oarecare

În triunghiul $ABC$ notăm $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$, iar $R$ este raza cercului circumscris.

Teorema cosinusului:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

Teorema sinusurilor:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

Aria triunghiului cu ajutorul sinusului:

$$\mathcal{A} = \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{2}$$

Teorema cosinusului o folosești când știi două laturi și unghiul dintre ele (sau toate trei laturile). Teorema sinusurilor este potrivită când știi o latură și unghiul opus ei. Observă că, pentru $A = 90^\circ$, teorema cosinusului devine chiar teorema lui Pitagora, pentru că $\cos 90^\circ = 0$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: din sinus în cosinus și tangentă

Știm că $\sin x = \frac{3}{5}$, iar $x$ este un unghi ascuțit. Calculează $\cos x$ și $\operatorname{tg} x$.

$$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.$$

Unghiul este ascuțit, deci $\cos x > 0$ și $\cos x = \frac{4}{5}$. Apoi

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}.$$

Exemplul 2: grade, radiani și unghiuri obtuze

a) $135^\circ = 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$.

b) $\frac{5\pi}{6}$ radiani înseamnă $\frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 150^\circ$.

c) Cu formulele de reducere:

$$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2},$$ $$\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Exemplul 3: un triunghi cu unghi obtuz

În triunghiul $ABC$ avem $b = 3$, $c = 5$ și $m(\angle A) = 120^\circ$. Află latura $a$ și raza $R$ a cercului circumscris.

Știm că $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$. Din teorema cosinusului:

$$a^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49 \quad \Rightarrow \quad a = 7.$$

Pentru raza folosim teorema sinusurilor, cu $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}.$$

Bonus, aria triunghiului:

$$\mathcal{A} = \frac{3 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ}{2} = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}.$$

Greșeli frecvente

• Semnul la unghiuri obtuze. $\cos 120^\circ$ este negativ. Dacă îl iei pozitiv în teorema cosinusului, obții o latură greșită.
• Semnul rădicalului. Din $\cos^2 x = \frac{16}{25}$ rezultă $\cos x = \pm\frac{4}{5}$. Alegi semnul după cadranul în care se află $x$.
• Calculatorul în modul greșit. Dacă verifici pe calculator, asigură-te că este setat pe grade (DEG) sau pe radiani (RAD), după caz.
• Încurcarea laturilor. În teorema cosinusului, latura din stânga este opusă unghiului din cosinus: $a$ se opune lui $A$.
• $2R$, nu $R$. Raportul $\frac{a}{\sin A}$ este egal cu diametrul $2R$, nu cu raza.

Pe scurt

• În triunghiul dreptunghic: $\sin$ = opusă / ipotenuză, $\cos$ = alăturată / ipotenuză, $\operatorname{tg}$ = opusă / alăturată.
• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ pentru orice $x$, iar $180^\circ = \pi$ radiani.
• Pe cercul trigonometric, semnul lui $\sin$ și $\cos$ depinde de cadran; $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$.
• În orice triunghi: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ și $\frac{a}{\sin A} = 2R$.