Vitezometrul unei mașini îți arată cât de repede se schimbă poziția chiar în acel moment , nu în medie. Asta este, de fapt, o derivată: rata de variație instantanee. În matematică, derivata îți spune cât de abrupt urcă sau coboară un grafic într-un punct. La BAC, subiectul al III-lea conține aproape mereu calcul de derivate, tangente și studiul monotoniei.
Definiția derivatei
Fie f : D → R f: D \to \mathbb{R} f : D → R x 0 ∈ D x_0 \in D x 0 ∈ D f f f x 0 x_0 x 0
f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 , f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, f ′ ( x 0 ) = x → x 0 lim x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) , dacă această limită există și este finită. În acest caz spunem că f f f derivabilă în x 0 x_0 x 0
Interpretare geometrică. f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ) f f f ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0, f(x_0)) ( x 0 , f ( x 0 ))
y − f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) . y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0). y − f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) . Derivatele funcțiilor elementare
funcția derivata c c c 0 0 0 x n x^n x n n x n − 1 n x^{n-1} n x n − 1 x \sqrt{x} x 1 2 x \frac{1}{2\sqrt{x}} 2 x 1 x > 0 x > 0 x > 0 e x e^x e x e x e^x e x a x a^x a x a x ln a a^x \ln a a x ln a ln x \ln x ln x 1 x \frac{1}{x} x 1 sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x cos x \cos x cos x − sin x -\sin x − sin x
Reguli de derivare
( f ± g ) ′ = f ′ ± g ′ , ( c ⋅ f ) ′ = c ⋅ f ′ , (f \pm g)' = f' \pm g', \qquad (c \cdot f)' = c \cdot f', ( f ± g ) ′ = f ′ ± g ′ , ( c ⋅ f ) ′ = c ⋅ f ′ , ( f ⋅ g ) ′ = f ′ g + f g ′ , ( f g ) ′ = f ′ g − f g ′ g 2 , (f \cdot g)' = f' g + f g', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}, ( f ⋅ g ) ′ = f ′ g + f g ′ , ( g f ) ′ = g 2 f ′ g − f g ′ , iar pentru funcții compuse :
( f ( u ( x ) ) ) ′ = f ′ ( u ( x ) ) ⋅ u ′ ( x ) . \big(f(u(x))\big)' = f'(u(x)) \cdot u'(x). ( f ( u ( x )) ) ′ = f ′ ( u ( x )) ⋅ u ′ ( x ) . De exemplu, ( sin u ) ′ = cos u ⋅ u ′ (\sin u)' = \cos u \cdot u' ( sin u ) ′ = cos u ⋅ u ′ ( e u ) ′ = e u ⋅ u ′ (e^u)' = e^u \cdot u' ( e u ) ′ = e u ⋅ u ′ ( u n ) ′ = n u n − 1 ⋅ u ′ (u^n)' = n u^{n-1} \cdot u' ( u n ) ′ = n u n − 1 ⋅ u ′
Derivata și monotonia
Pe un interval:
dacă f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f ′ ( x ) > 0
dacă f ′ ( x ) < 0 f'(x) < 0 f ′ ( x ) < 0
Punctele în care f ′ f' f ′ și își schimbă semnul sunt puncte de extrem local : din + + + − - − − - − + + +
Exemple rezolvate
Exemplul 1: reguli de derivare
a) f ( x ) = x e x f(x) = x e^x f ( x ) = x e x
f ′ ( x ) = 1 ⋅ e x + x ⋅ e x = e x ( x + 1 ) . f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(x + 1). f ′ ( x ) = 1 ⋅ e x + x ⋅ e x = e x ( x + 1 ) . b) g ( x ) = sin ( x 2 ) g(x) = \sin(x^2) g ( x ) = sin ( x 2 ) u = x 2 u = x^2 u = x 2
g ′ ( x ) = cos ( x 2 ) ⋅ 2 x = 2 x cos ( x 2 ) . g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2). g ′ ( x ) = cos ( x 2 ) ⋅ 2 x = 2 x cos ( x 2 ) . c) h ( x ) = x + 1 x − 1 h(x) = \frac{x + 1}{x - 1} h ( x ) = x − 1 x + 1 x ≠ 1 x \neq 1 x = 1
h ′ ( x ) = 1 ⋅ ( x − 1 ) − ( x + 1 ) ⋅ 1 ( x − 1 ) 2 = − 2 ( x − 1 ) 2 . h'(x) = \frac{1 \cdot (x - 1) - (x + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2}. h ′ ( x ) = ( x − 1 ) 2 1 ⋅ ( x − 1 ) − ( x + 1 ) ⋅ 1 = ( x − 1 ) 2 − 2 . Exemplul 2: ecuația tangentei
Scrie ecuația tangentei la graficul funcției f : ( 0 , ∞ ) → R f: (0, \infty) \to \mathbb{R} f : ( 0 , ∞ ) → R f ( x ) = x 2 + ln x f(x) = x^2 + \ln x f ( x ) = x 2 + ln x x 0 = 1 x_0 = 1 x 0 = 1
Calculăm f ( 1 ) = 1 + ln 1 = 1 f(1) = 1 + \ln 1 = 1 f ( 1 ) = 1 + ln 1 = 1 f ′ ( x ) = 2 x + 1 x f'(x) = 2x + \frac{1}{x} f ′ ( x ) = 2 x + x 1 f ′ ( 1 ) = 2 + 1 = 3 f'(1) = 2 + 1 = 3 f ′ ( 1 ) = 2 + 1 = 3
y − 1 = 3 ( x − 1 ) ⟺ y = 3 x − 2. y - 1 = 3(x - 1) \iff y = 3x - 2. y − 1 = 3 ( x − 1 ) ⟺ y = 3 x − 2. Exemplul 3: monotonie și extreme
Studiază monotonia funcției f : R → R f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2
f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x = 3 x ( x − 2 ) . f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2). f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x = 3 x ( x − 2 ) . f ′ ( x ) = 0 f'(x) = 0 f ′ ( x ) = 0 x = 0 x = 0 x = 0 x = 2 x = 2 x = 2 f ′ f' f ′ a = 3 > 0 a = 3 > 0 a = 3 > 0
x x x ( − ∞ , 0 ) (-\infty, 0) ( − ∞ , 0 ) ( 0 , 2 ) (0, 2) ( 0 , 2 ) ( 2 , ∞ ) (2, \infty) ( 2 , ∞ ) f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) + + + − - − + + + f f f crescătoare descrescătoare crescătoare
Deci x = 0 x = 0 x = 0 maxim local , cu f ( 0 ) = 2 f(0) = 2 f ( 0 ) = 2 x = 2 x = 2 x = 2 minim local , cu f ( 2 ) = 8 − 12 + 2 = − 2 f(2) = 8 - 12 + 2 = -2 f ( 2 ) = 8 − 12 + 2 = − 2
Greșeli frecvente
( f g ) ′ = f ′ g ′ (fg)' = f'g' ( f g ) ′ = f ′ g ′ ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ (fg)' = f'g + fg' ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ ( x ⋅ x ) ′ = 2 x (x \cdot x)' = 2x ( x ⋅ x ) ′ = 2 x 1 1 1 Uitarea derivatei interioare. ( e 2 x ) ′ = 2 e 2 x (e^{2x})' = 2e^{2x} ( e 2 x ) ′ = 2 e 2 x e 2 x e^{2x} e 2 x ( sin 3 x ) ′ = 3 cos 3 x (\sin 3x)' = 3\cos 3x ( sin 3 x ) ′ = 3 cos 3 x Semnul la cos \cos cos ( cos x ) ′ = − sin x (\cos x)' = -\sin x ( cos x ) ′ = − sin x Ordinea din regula câtului. La numărător este f ′ g − f g ′ f'g - fg' f ′ g − f g ′ f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0) = 0 f ′ ( x 0 ) = 0 f ( x ) = x 3 f(x) = x^3 f ( x ) = x 3 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0) = 0 f ′ ( 0 ) = 0 f ′ f' f ′ 0 0 0 f ( x 0 ) f(x_0) f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 )
Pe scurt
f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ) f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x 0 x_0 x 0 Tangenta: y − f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) y − f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 )
Învață tabelul de derivate și regulile pentru sumă, produs, cât și funcție compusă.
Semnul lui f ′ f' f ′ f ′ f' f ′
