Cinematica punctului material

Fie că e vorba de un tren care pleacă din gară, de o minge aruncată în sus sau de o mașină care frânează la semafor, întrebările sunt aceleași: unde se află corpul, cât de repede se mișcă și cât de repede își schimbă viteza? Cinematica descrie mișcarea fără să se întrebe de ce are loc. Acesta este primul capitol de mecanică din clasa a IX-a și baza pentru tot ce urmează.

Noțiuni de bază

• Punctul material este un corp ale cărui dimensiuni pot fi neglijate în problema studiată.
• Sistemul de referință este format dintr-un corp de referință, un sistem de axe și un ceas. Mișcarea este relativă: un pasager stă pe loc față de tren, dar se mișcă față de peron.
• Traiectoria este linia descrisă de corp în timpul mișcării.
• Distanța parcursă este lungimea drumului; deplasarea este diferența dintre poziția finală și cea inițială, $\Delta x = x - x_0$. Dacă pleci de acasă și te întorci, distanța nu este zero, dar deplasarea este.

Viteza medie:

$$v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}, \qquad [v]_{SI} = \text{m/s}.$$

Accelerația medie:

$$a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t}, \qquad [a]_{SI} = \text{m/s}^2.$$

Conversie utilă: $1\ \text{m/s} = 3{,}6\ \text{km/h}$, deci din km/h în m/s împarți la $3{,}6$.

Mișcarea rectilinie uniformă (MRU)

Viteza este constantă, iar accelerația este zero. Legea mișcării:

$$x = x_0 + v\,(t - t_0)$$

De obicei se alege $t_0 = 0$, iar atunci $x = x_0 + v t$.

Mișcarea rectilinie uniform variată (MRUV)

Accelerația este constantă. Pentru $t_0 = 0$:

$$v = v_0 + a t$$ $$x = x_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2}$$

Eliminând timpul, obții formula lui Galilei:

$$v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x$$

Mișcarea este accelerată când viteza și accelerația au același sens și încetinită când au sensuri opuse (în calcule, $a$ are semn opus vitezei).

Căderea liberă este o MRUV cu $a = g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$, în absența frecării cu aerul. În probleme se folosește adesea $g = 10\ \text{m/s}^2$. Pentru un corp lăsat liber de la înălțimea $h$:

$$h = \frac{g t^2}{2}, \qquad v = g t, \qquad v^2 = 2 g h.$$

Exemple rezolvate

Exemplul 1: mișcare uniformă

O mașină merge cu viteza constantă de $72\ \text{km/h}$. Ce distanță parcurge în $15\ \text{s}$?

Transformăm viteza: $v = \frac{72}{3{,}6} = 20\ \text{m/s}$. Atunci

$$d = v t = 20\ \text{m/s} \cdot 15\ \text{s} = 300\ \text{m}.$$

Exemplul 2: frânare

O mașină cu viteza $v_0 = 20\ \text{m/s}$ frânează uniform și se oprește după $40\ \text{m}$. Află accelerația și durata frânării.

La oprire $v = 0$. Din formula lui Galilei:

$$0 = v_0^2 + 2a\,d \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{v_0^2}{2d} = -\frac{400}{80} = -5\ \text{m/s}^2.$$

Semnul minus arată că accelerația are sens opus vitezei. Durata frânării, din $v = v_0 + a t$:

$$0 = 20 - 5t \quad \Rightarrow \quad t = 4\ \text{s}.$$

Verificare: $d = v_0 t + \frac{a t^2}{2} = 80 - 40 = 40\ \text{m}$.

Exemplul 3: cădere liberă

O piatră este lăsată liber de pe o clădire înaltă de $20\ \text{m}$. Neglijând frecarea cu aerul și luând $g = 10\ \text{m/s}^2$, află timpul de cădere și viteza la sol.

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{40}{10}} = 2\ \text{s}, \qquad v = g t = 10 \cdot 2 = 20\ \text{m/s}.$$

Verificare: $v^2 = 2gh = 400$, deci $v = 20\ \text{m/s}$.

Greșeli frecvente

• Unități amestecate. Viteza în km/h și timpul în secunde nu se înmulțesc direct. Treci totul în SI înainte de calcul.
• Viteza medie ca medie aritmetică. Dacă parcurgi jumătate din drum cu $30\ \text{km/h}$ și jumătate cu $60\ \text{km/h}$, viteza medie este $40\ \text{km/h}$, nu $45$. Viteza medie este întotdeauna distanța totală împărțită la timpul total.
• Semnul accelerației la frânare. La mișcarea încetinită $a$ are semn opus vitezei. Dacă pui $a$ pozitiv, mașina „accelerează” în calcule.
• Uitarea factorului $\frac{1}{2}$. În $x = v_0 t + \frac{a t^2}{2}$, termenul cu accelerația este împărțit la $2$.
• Distanță vs. deplasare. La o mișcare dus-întors, deplasarea poate fi zero chiar dacă ai parcurs mulți metri.

Pe scurt

• Viteza măsoară cât de repede se schimbă poziția; accelerația, cât de repede se schimbă viteza.
• MRU: $x = x_0 + vt$. MRUV: $v = v_0 + at$, $x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$, $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$.
• Căderea liberă este o MRUV cu accelerația $g$.
• Lucrează în unități SI și alege de la început sensul pozitiv al axei.