Progresii aritmetice și geometrice

Dacă primești în fiecare lună cu 50 de lei mai mult decât în luna anterioară, banii tăi cresc după o progresie aritmetică. Dacă o populație de bacterii se dublează la fiecare oră, numărul lor crește după o progresie geometrică. Progresiile sunt modele simple pentru creșteri regulate și apar foarte des la BAC, mai ales la subiectul I.

Progresia aritmetică

Un șir $(a_n)_{n \geq 1}$ este progresie aritmetică dacă fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din precedentul adunând același număr $r$, numit rație:

$$a_{n+1} = a_n + r, \quad n \geq 1.$$

Termenul general:

$$a_n = a_1 + (n - 1)r$$

Suma primilor $n$ termeni:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{\left[2a_1 + (n - 1)r\right] \cdot n}{2}$$

De unde vine formula sumei? Scrie suma de două ori, o dată crescător și o dată descrescător, apoi adună termenii aflați unul sub altul:

$$S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$$ $$S_n = a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1$$

Fiecare pereche are aceeași sumă, $a_1 + a_n$, iar perechile sunt în număr de $n$. Deci $2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n$. De exemplu, $1 + 2 + \ldots + 100 = \frac{101 \cdot 100}{2} = 5050$.

Caracterizare cu trei termeni: numerele $x$, $y$, $z$ (în această ordine) sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă

$$2y = x + z,$$

adică termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor săi.

Progresia geometrică

Un șir $(b_n)_{n \geq 1}$ cu $b_1 \neq 0$ este progresie geometrică dacă fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din precedentul înmulțind cu același număr $q \neq 0$, numit rație:

$$b_{n+1} = b_n \cdot q, \quad n \geq 1.$$

Termenul general:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n - 1}$$

Suma primilor $n$ termeni (pentru $q \neq 1$):

$$S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$

Dacă $q = 1$, toți termenii sunt egali și $S_n = n \cdot b_1$.

Caracterizare cu trei termeni: numerele nenule $x$, $y$, $z$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă

$$y^2 = x \cdot z.$$

Exemple rezolvate

Exemplul 1: termen și sumă într-o progresie aritmetică

Fie progresia aritmetică cu $a_1 = 3$ și $r = 4$. Calculează $a_{10}$ și $S_{10}$.

$$a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 36 = 39.$$ $$S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2} = \frac{(3 + 39) \cdot 10}{2} = \frac{420}{2} = 210.$$

Exemplul 2: termen și sumă într-o progresie geometrică

Fie progresia geometrică cu $b_1 = 2$ și $q = 3$. Calculează $b_5$ și $S_5$.

$$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 2 \cdot 81 = 162.$$ $$S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242.$$

Verificare directă: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242$.

Exemplul 3: aflarea unei necunoscute

a) Află $x \in \mathbb{R}$ pentru care numerele $x + 1$, $2x + 1$, $5x - 3$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Folosim $2y = x + z$:

$$2(2x + 1) = (x + 1) + (5x - 3) \iff 4x + 2 = 6x - 2 \iff x = 2.$$

Termenii sunt $3$, $5$, $7$, cu rația $2$.

b) Află $x > 0$ pentru care numerele $4$, $x$, $9$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Folosim $y^2 = xz$: $x^2 = 4 \cdot 9 = 36$, deci $x = 6$ sau $x = -6$. Cum se cere $x > 0$, răspunsul este $x = 6$ (progresia $4, 6, 9$ are rația $\frac{3}{2}$).

Greșeli frecvente

• $n$ în loc de $n - 1$. În $a_n = a_1 + (n-1)r$ și $b_n = b_1 q^{n-1}$ exponentul, respectiv factorul, este $n - 1$. De la $a_1$ la $a_{20}$ faci 19 „pași”, nu 20.
• Formula sumei geometrice aplicată pentru $q = 1$. Fracția $\frac{q^n - 1}{q - 1}$ nu are sens pentru $q = 1$. În acest caz suma este simplu $n \cdot b_1$.
• Câți termeni are suma? $1 + 2 + 4 + \ldots + 2^9$ are $10$ termeni (de la $2^0$ la $2^9$), nu $9$.
• Soluția negativă pierdută sau păstrată greșit. Din $y^2 = xz$ obții două valori pentru $y$. Păstrează-le pe amândouă, apoi elimină-le doar pe cele care contrazic condițiile din enunț.
• Media aritmetică vs. media geometrică. La progresia aritmetică termenul din mijloc este $\frac{x + z}{2}$; la cea geometrică (cu termeni pozitivi) este $\sqrt{xz}$.

Pe scurt

• Progresie aritmetică: aduni mereu $r$; $a_n = a_1 + (n-1)r$, $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$, iar $2y = x + z$ pentru termeni consecutivi.
• Progresie geometrică: înmulțești mereu cu $q$; $b_n = b_1 q^{n-1}$, $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$ pentru $q \neq 1$, iar $y^2 = xz$ pentru termeni consecutivi.
• Numără atent termenii și verifică rezultatul scriind primii câțiva termeni ai șirului.