Ecuația de gradul al doilea

Ecuația de gradul al doilea apare peste tot: când calculezi traiectoria unei mingi aruncate, aria unui teren sau momentul în care două mașini se întâlnesc. La BAC, aproape orice subiect de algebră ajunge, la un moment dat, la o astfel de ecuație. Vestea bună: există o metodă care funcționează de fiecare dată.

Ce este o ecuație de gradul al doilea

O ecuație de gradul al doilea are forma

$$ax^2 + bx + c = 0, \quad a, b, c \in \mathbb{R},\ a \neq 0.$$

Numerele $a$, $b$, $c$ se numesc coeficienți: $a$ este coeficientul dominant, $b$ coeficientul lui $x$, iar $c$ termenul liber. Condiția $a \neq 0$ este esențială: dacă $a = 0$, ecuația devine de gradul întâi.

Discriminantul și formula rădăcinilor

Totul pornește de la discriminant:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Semnul lui $\Delta$ îți spune câte soluții reale are ecuația:

• dacă $\Delta > 0$, ecuația are două rădăcini reale distincte;
• dacă $\Delta = 0$, ecuația are o rădăcină reală dublă, $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$;
• dacă $\Delta < 0$, ecuația nu are rădăcini reale.

Când $\Delta \geq 0$, rădăcinile sunt date de formula

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Relațiile lui Viète

Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile ecuației, atunci suma și produsul lor se scriu direct cu ajutorul coeficienților:

$$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Aceste relații sunt foarte utile când ți se cere o expresie în $x_1$ și $x_2$, fără să fie nevoie să afli rădăcinile. Tot de aici rezultă și descompunerea în factori:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).$$

Invers, dacă știi $S$ și $P$, ecuația cu rădăcinile $x_1$, $x_2$ este $x^2 - Sx + P = 0$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: două rădăcini întregi

Rezolvă ecuația $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Identificăm coeficienții: $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$. Calculăm discriminantul:

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.$$

Cum $\Delta > 0$, avem două rădăcini:

$$x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 3,\ x_2 = 2.$$

Verificare cu Viète: $x_1 + x_2 = 5 = -\frac{-5}{1}$ și $x_1 x_2 = 6 = \frac{6}{1}$. Totul se potrivește, deci $S = \{2, 3\}$.

Exemplul 2: coeficient dominant diferit de 1

Rezolvă ecuația $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Aici $a = 2$, $b = 3$, $c = -2$. Atenție la semnul lui $c$:

$$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25.$$ $$x_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4} \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{1}{2},\ x_2 = -2.$$

Observă că numitorul este $2a = 4$, nu $2$. Verificare: produsul rădăcinilor este $\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{2}$. Corect.

Exemplul 3: o expresie calculată cu Viète

Fie $x_1$, $x_2$ rădăcinile ecuației $x^2 - 3x - 4 = 0$. Calculează $x_1^2 + x_2^2$ fără a rezolva ecuația.

Din Viète: $S = 3$ și $P = -4$. Folosim identitatea

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = S^2 - 2P.$$

Deci $x_1^2 + x_2^2 = 9 - 2 \cdot (-4) = 9 + 8 = 17$.

Dacă vrei să te convingi, rădăcinile sunt $4$ și $-1$, iar $16 + 1 = 17$.

Greșeli frecvente

• Semnul lui $b$ în formulă. Dacă $b = -5$, atunci $-b = 5$. Mulți elevi scriu $-5$ și obțin rădăcinile cu semn greșit.
• Pătratul unui număr negativ. $(-5)^2 = 25$, nu $-25$. Pune mereu paranteze când înlocuiești un coeficient negativ.
• Numitorul $2a$. Fracția are numitorul $2a$, nu $2$. Contează mai ales când $a \neq 1$.
• Semnul sumei din Viète. $S = -\frac{b}{a}$, cu minus. Produsul $P = \frac{c}{a}$ nu are minus.
• Împărțirea la $x$. Din $x^2 = 3x$ nu scrii $x = 3$ împărțind la $x$, pentru că pierzi soluția $x = 0$. Corect: $x(x - 3) = 0$, deci $x \in \{0, 3\}$.
• Ecuații incomplete. Pentru $x^2 - 9 = 0$ sau $x^2 + 4x = 0$ nu ai nevoie de $\Delta$: descompune direct în factori, e mai rapid.

Pe scurt

• Forma generală este $ax^2 + bx + c = 0$, cu $a \neq 0$.
• Calculezi $\Delta = b^2 - 4ac$ și te uiți la semnul lui: pozitiv înseamnă două soluții, zero înseamnă o soluție dublă, negativ înseamnă nicio soluție reală.
• Rădăcinile sunt $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Relațiile lui Viète, $S = -\frac{b}{a}$ și $P = \frac{c}{a}$, te ajută să verifici rezultatul și să calculezi expresii simetrice în rădăcini.
• Verifică-ți întotdeauna soluțiile înlocuindu-le în ecuație sau cu Viète. Durează câteva secunde și te scapă de multe puncte pierdute.