Funcții și grafice

Graficul unei funcții este „fotografia” ei: dintr-o privire vezi unde crește, unde scade, unde atinge minimul și unde taie axele. Funcțiile de gradul I și al II-lea sunt peste tot în materia de liceu și apar constant la BAC, de la subiectul I până la probleme de optimizare. Merită să le stăpânești bine.

Ce este o funcție

O funcție $f: A \to B$ asociază fiecărui element $x$ din mulțimea $A$ exact un element $f(x)$ din mulțimea $B$.

• $A$ este domeniul de definiție;
• $B$ este codomeniul;
• $f(x)$ este valoarea funcției în $x$.

Graficul funcției este mulțimea punctelor

$$G_f = \{(x, f(x)) \mid x \in A\}.$$

Un punct $M(x_0, y_0)$ aparține graficului dacă și numai dacă $f(x_0) = y_0$.

Intersecția cu axele:

• cu $Ox$: rezolvi ecuația $f(x) = 0$ (punctele au forma $(x, 0)$);
• cu $Oy$: calculezi $f(0)$ (punctul este $(0, f(0))$), dacă $0$ aparține domeniului.

Funcția de gradul I

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = ax + b, \quad a \neq 0.$$

Graficul este o dreaptă. Coeficientul $a$ (panta) decide monotonia:

• $a > 0$: funcția este strict crescătoare;
• $a < 0$: funcția este strict descrescătoare.

Ca să desenezi dreapta îți ajung două puncte, de obicei intersecțiile cu axele.

Funcția de gradul al II-lea

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0.$$

Graficul este o parabolă, cu vârful în

$$V\left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{\Delta}{4a}\right), \quad \Delta = b^2 - 4ac.$$

• dacă $a > 0$, parabola are „brațele în sus”, iar $-\frac{\Delta}{4a}$ este valoarea minimă;
• dacă $a < 0$, parabola are „brațele în jos”, iar $-\frac{\Delta}{4a}$ este valoarea maximă.

Dreapta verticală $x = -\frac{b}{2a}$ este axa de simetrie a parabolei. În practică, ordonata vârfului se calculează adesea mai ușor ca $f\left(-\frac{b}{2a}\right)$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: o funcție de gradul I

Fie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x - 4$.

Intersecția cu $Ox$: $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$, deci $A(2, 0)$.

Intersecția cu $Oy$: $f(0) = -4$, deci $B(0, -4)$.

Graficul este dreapta $AB$. Cum $a = 2 > 0$, funcția este strict crescătoare.

Aparține punctul $M(3, 2)$ graficului? Calculăm $f(3) = 6 - 4 = 2$. Da, $M \in G_f$.

Exemplul 2: studiul complet al unei parabole

Fie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Vârful: $x_V = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$ și $y_V = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$. Deci $V(2, -1)$. Verificare cu formula: $\Delta = 16 - 12 = 4$, iar $-\frac{\Delta}{4a} = -\frac{4}{4} = -1$.

Intersecția cu $Ox$: $x^2 - 4x + 3 = 0$ are rădăcinile $x_1 = 1$ și $x_2 = 3$, deci punctele $(1, 0)$ și $(3, 0)$.

Intersecția cu $Oy$: $f(0) = 3$, deci punctul $(0, 3)$.

Monotonie și imagine: cum $a = 1 > 0$, funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty, 2]$ și strict crescătoare pe $[2, +\infty)$. Valoarea minimă este $-1$, iar imaginea funcției este $\operatorname{Im} f = [-1, +\infty)$.

Observă că rădăcinile $1$ și $3$ sunt simetrice față de axa $x = 2$, exact cum ne așteptam.

Exemplul 3: intersecția a două grafice

Află punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor $f(x) = x^2$ și $g(x) = x + 2$.

Punctele comune au aceeași abscisă și aceeași ordonată, deci rezolvăm $f(x) = g(x)$:

$$x^2 = x + 2 \iff x^2 - x - 2 = 0.$$

$\Delta = 1 + 8 = 9$, deci $x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$ și $x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$.

Calculăm ordonatele: $g(2) = 4$ și $g(-1) = 1$. Punctele de intersecție sunt $(2, 4)$ și $(-1, 1)$.

Greșeli frecvente

• Încurcarea axelor. Pe $Ox$ avem $y = 0$, pe $Oy$ avem $x = 0$. Intersecția cu $Ox$ se află rezolvând $f(x) = 0$, nu calculând $f(0)$.
• Vârful confundat cu valoarea extremă. $x_V$ este punctul în care se atinge extremul, iar $y_V$ este valoarea extremului. Când ți se cere „valoarea maximă”, răspunsul este $y_V$.
• Semnul lui $a$ ignorat. Pentru $a < 0$ vârful este un maxim, nu un minim. Uită-te mereu la semnul lui $a$ înainte să tragi concluzii despre monotonie.
• Doar abscisele la intersecție. Când afli intersecția a două grafice, nu te opri la $x$: calculează și $y$, ca să obții punctele complete.
• Graficul desenat „din ochi”. Pentru o parabolă marchează măcar vârful, intersecțiile cu axele și un punct simetric față de axa de simetrie.

Pe scurt

• O funcție asociază fiecărui $x$ din domeniu exact o valoare $f(x)$; $M(x_0, y_0) \in G_f \iff f(x_0) = y_0$.
• Funcția de gradul I are ca grafic o dreaptă și este crescătoare pentru $a > 0$, descrescătoare pentru $a < 0$.
• Funcția de gradul al II-lea are ca grafic o parabolă cu vârful $V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$; semnul lui $a$ decide dacă vârful este minim sau maxim.
• Intersecția cu $Ox$ înseamnă $f(x) = 0$, intersecția cu $Oy$ înseamnă $f(0)$, iar intersecția a două grafice înseamnă $f(x) = g(x)$.